算術と幾何学

純粋な「行い」記述システムとしての，ユークリッド幾何学の成立 いわゆる理数系の学問の基礎は，算術と，とりわけ幾何学と，にあります．算術は幾何学に吸収されうるので，自然学の基礎とは，幾何学による定義がそのすべての「はじまり」だ，と思って下さってもよろしいのです．

さて，その幾何学の定義集，ユークリッドの『(幾何学)原論』の冒頭から，ですが;

・ユークリッドの公準1: 点とは部分をもたないものである．→これを追体験したければ，コンパスの先を実際に紙に突き刺してごらんなさい．その純粋な「行い」によってできた図形，それが「点」です．

・ユークリッドの公準2: 線とは幅のない長さである．→これを追体験したければ，鉛筆をよく削ってなるべく細い線を描きなさい．その純粋な「行い」によってできた図形，それが「線」です．

・ユークリッドの公準3: 線の端は点である．→これはよくわかりますよね．あなたがよく削った鉛筆で描いた線は，2つの黒い「点」で終っていて，あとは白紙があるだけです．

・ユークリッドの公準4: 直線とはその上にある点について一様に横たわる線である．→これは定規を使って直線を書いてみればよくわかるでしょうし，直線とは，そこに小さな「点」が一様にならんだその集り合わさったもの(集合)であることもよくわかるでしょう．

・ユークリッドの公準5: 面とは長さと幅のみをもつものである．→あなたが今，その純粋な「行い」によって「点」や「線」を描くことができた，そのペラペラの「薄い紙」(厚さがほとんど<ない>に等しい紙)を見れば，よくわかるでしょう．

・ユークリッドの公準6: 面の端は線である．→これは，その「薄い紙」の端が明らかに「線状」であることを見れば，よくわかるでしょう．

・・・等々，23個あるユークリッドの公準のどれをとってみても，それらは，誰もが小学校で実際に体験してきて，覚えている(実際に「点」とか「線」とかを「描く」ことができる)はずの，誰にでも自明と思えるような定義(公準，公理)です．それらの定義たちを，全く追体験もできず，全く理解もできず，つまり覚えてもいないような人が，立派に大学までを卒業して，市民として立派に生活してきて，地域で尊敬されている，しかも平面(キャンバス)上にあって，「点」や「線」から成立しているはずの「絵」(それは「単純な自然図形」からなる「1つの集合」のはずです)まで実際に「描ける」などとは，全く信じられないことですね．

数学嫌いのあなたは，日々，ユークリッド幾何学の定義を追体験していることによって，実際に覚えてもいるのです．それらを明らかに知っていて，それを使って実際に立派に生活してきてもいるのだが，それらを全く意識していないのです．要は，自分がそれらの定義を知っていることを全く知らない，自分が自然からもらった「生活の知恵 -自然の賜物-」を持って生まれてきていることを全く知らないのです．きわめて単純明快かつ明晰判明な自然法，それに対する無知，自らがそこから生まれてきたものの無視，全存在の故郷である自然の完全な忘却，ただそれだけのことではなかったでしょうか．

純粋行為「のみ」から成立する「技術システム」の誕生 古代ギリシア人たちは，幾何学<する>こと，つまり「点」や「線」を平面上に「描く」という純粋な「行い」ほとんどそれのみによって，実際の計算 -加減乗除の4則演算- を「行った」のでした．そうした計算<する>という純粋な「行い」システムは，算術とよばれ，自由市民がこれを「行う」ことができる自由市民のための技術，つまり「自由技術(システム)」(artes liberales)の1部を構成していきました．

ラテン語でars，あるいは英語でartといわれるものは，日本語には「芸術」と訳されましたが，それはギリシア語でいうtechne，日本語訳では「技術」の完全な直訳です．古代においては「芸術」と「技術」とは全く同じものだったことは，「まえがき」にも述べた通りです．

ユークリッド幾何学システムを記述した『(幾何学)原論』は，自由技術システムの1部としての「算術」をも含むものであって，その巻頭にある公準(postulate，要請)とは，ヒトのみならず自然のモノであれば誰しもがこれを「行う」ことができる純粋行為システムの，いわば基礎中の基礎の発見であるといえましょう．それら単純かつ明晰判明な基礎的な「行い」の組み合わせ「のみ」によって，全ての証明が「行われうる」ような「(ほとんど)閉じた・技術システム」が，「ユークリッド幾何学システム」です．自然の内なるモノの数を「数える」，自然の内なるものの量を「量る」という純粋な「行い」，その「行い」を成立させるものが「算術と幾何学」を包摂する「ユークリッド幾何学システム」であり，これがヨーロッパにおいて「技術システム」の典型的な，そして理想的なあり方となっていったのです．現代のコンピュータ・システムを成立させている基礎的な「技術システム」は，古代ギリシア人が打ち立てたものです．

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